Lógica e Fundamentos

Essa é a minha área preferida em Matemática, e se Deus quiser me mudo pra USP e faço doutorado nisso. O concurso deve ser difícil, mas o mais difícil mesmo vai ser conseguir as cartas de recomendação na UFRJ.

A lógica é a teoria na qual está fundamentada toda a Matemática.
Ao provarmos um teorema em Matemática, estamos usando lógica pra deduzir de uma afirmação a outra. Pelas regras lógicas se pode destinguir uma demonstração falsa de uma demonstração verdadeira. O modo seria passar da demonstração informal, por palavras, para a demonstração formal, por símbolos. Uma demonstração é apresentada de modo informal para que se possa entender o que significa, ou simplificar os passos da demonstração.

É exatamente isso que dá o caráter de "indiscutível" na Matemática.
Demonstração válida é toda aquela que puder ser derivada dos axiomas e regras de inferência lógicas. Mas quais são os axiomas? E regras de inferência lógicas? Dá pra fazer um resumão aqui do que é lógica de primeira ordem.
Toda afirmação Matemática deve ser redutível a uma fórmula. Uma fórmula é uma sequência de caracteres que devem estar entre os seguintes:
A (Para todo)
E (existe)
→ (implica)
^ (e)
v (ou)
¬ (não)
= (igual)
( ) , (sinais de pontuação, dispensáveis na notação polonesa)
variáveis x,y,z... (possiv com índices)
símbolos funcionais F,G,... (possiv com índices)
predicados P,Q,... (possiv com índices)
Símbolos funcionais e predicados possuem um peso que é maior ou igual a zero. Correspondem ao número de variáveis que eles relacionam. Para introduzir o que é fórmula começamos com termo.
Toda variável é um termo. Todo símbolo funcional de peso zero (constante) é termo. Se x1, x2, ..., xn são termos, e F é funcional de peso n, Fx1...xn é termo. Nada mais é termo. [notação alternativa: F(x1,...,xn), e se F tem peso 2, (x1Fx2)]Se t1, t2, ... tn são termos, e P é predicado de peso n, Px1...xn é fórmula. Predicados de peso zero são fórmulas. Se t1 e t2 são termos, (t1=t2) é fórmula.[notação alternativa: P(x1,...,xn), e se P tem peso 2, (x1Px2)]
Se P é fórmula, ¬P é fórmula. Se P e Q são fórmulas (PvQ) , (P^Q) e (P→Q) são fórmulas.
Se P é fórmula e x é variável, AxP e ExP são fórmulas.
Nada mais é fórmula.
OBS: a escassez de símbolos pra escrever aqui me força a não usar os símbolos tradicionais de para todo e existe.
Variáveis livres: Se temos uma fórmula AxP ou ExP então x é dita quantificada nessa fórmula. Caso na ocorrência de x dentro de uma fórmula P e ela não esteja quantificada, nem em nenhuma subfórmula de P, então x é dita variável livre em P. Termos fechados são aqueles em que todas as suas variáveis são livres, ou se não possuem variáveis.

FÓRMULAS VÁLIDAS
Todo axioma é uma fórmula válida. Se a fórmula puder ser deduzida de fórmulas válidas pelas regras de inferência lógicas, então ela é válida também.
AXIOMAS LÓGICOS
Aqui P, Q e R são fórmulas quaisquer, exceto se especificado na regra ou axioma. t e s são termos fechados, a é variável livre, e x é variável.
1)P→P
2)[P^(P→Q)]→Q
3)[(P^Q)→R]→[P→(Q→R)]
4)[(P→Q)^(Q→R)]→[P→R]
5)P→[Q→(P^Q)]
6)(P^Q)→P6')(P^Q)→Q
7)[P→(Q^¬Q)]→¬P
8)¬¬P→P
9)P→(PvQ)
9')P→(QvP)
10)[(Q→R)^(P→R)]→[(PvQ)→R]
11)AxP(x)→P(t) aqui P(t) resulta de P(x) substituindo todos x por t
12)P(t)→ExP(x) x não ocorre em P(t), e aqui P(x) resulta de P(t) substituindo alguns ou todos t por x
13)t=t
14)[t=s^P(t)]→P(s) aqui P(s) resulta de P(t) substituindo alguns ou todos t por s

Sejam P e Q fórmulas, H uma fórmula onde a variável livre a não ocorre, B(a) uma fórmula onde todas as ocorrências de a são livres e B(x) resulta de B(a) substituindo todas as ocorrências de a por x.São três regras de inferência, tiradas do site Mathworld
1) (Modus Ponens)
se P e (P→Q) são válidas, Q é válida
2) se B(a)→H é válida então
ExB(x)→H é válida
3) se H→B(a) é válida então
H→AxB(x) é válida.
São essas.

Uma teoria em lógica de primeira ordem para ser construída basta que se acrescente símbolos funcionais próprios e axiomas. Dessa forma se pode construir as mais fortes teorias matemáticas. Toda teoria não muito avançada pode ser construída com esse tipo de lógica.

Em posse de teoremas e definições importantes, usar essas regras lógicas e as que derivam delas é o que chamamos de argumentação válida. Ou ao menos podemos convencer a pessoa de que nossa argumentação pode se fundamentar nessas regras, já que escrever tudo fica difícil.